Una didáctica sin alumnos
Esta problemática clásica se ocupó de diseñar presentaciones del contenido matemático escolar que se consideraban más accesibles para los alumnos y para los profesores que aquellas otras presentaciones llamadas tradicionales. Se asumía, sin fundamentación empírica ni teórica, que una presentación mejor adaptada a la escuela y a sus agentes podría ser construida solo con la reflexión del profesional de la matemática. Bajo este supuesto se elaboraron programas, libros de texto y materiales educativos sin tomar en cuenta los destinatarios (profesores y alumnos), tampoco los factores cognitivos y afectivos, ni los relativos a las cuestiones socio culturales del conocimiento.
El papel del docente era desarrollar dichas propuestas, las cuales supuestamente no le ocasionarían dificultades, y el alumno a través de un cierto sensualismo didáctico lograr los objetivos.
Estas aproximaciones didácticas hicieron evidente la necesidad de atender aspectos como el papel que desempeñan las acciones del profesor en los actos de aprendizaje de sus alumnos, o la forma en que los diálogos intervienen en los procesos de desarrollo del pensamiento. Paulatinamente se incorporaron estudios sobre el pensamiento del profesor para dar cuenta de las formas en que el docente conducía un cierto proceso de negociación del significado con sus alumnos. Aunque la problemática había sido modificada, no había sido completamente estudiada.
Una didáctica sin escuela
Como resultado del trabajo de Feudenthal (1981), que se planteaba preguntas, de las que denominó problemas mayores en el campo de la matemática: ¿Cómo piensan las personas? ¿Cómo podemos aprenden a observar procesos de aprendizaje? Dio apertura a un nuevo paradigma en el que conocer los procesos cognitivos de los alumnos eran importantes para el diseño de planes y programas matematicos.
De la línea de investigación en educación matemática conocida como "pensamiento matemático avanzado", Tall y Vinner (1981) introdujeron los constructos "imagen conceptual" (concept image) y "definición conceptual" (concept definition), para describir el estado de los conocimientos del sujeto individual en relación a un concepto matemático.
Se trata de entidades mentales que se introducen para distinguir los conceptos matemáticos formalmente definidos y los procesos cognitivos por medio de los cuales se conciben. Se considera que durante los procesos mentales de recuerdo y manipulación de un concepto se ponen en juego muchos procesos asociados, de manera consciente o inconsciente, que afectan a su significado y uso. Con la expresión "imagen conceptual se describe la estructura cognitiva total asociada a un concepto, que incluye las imágenes mentales y las propiedades y procesos asociados". Se construye a lo largo de los años por medio de las experiencias de todo tipo y cambia a medida que el individuo encuentra nuevos estímulos y a medida que madura.
Bajo este mismo esquema se pueden incluir los trabajos de Vergnaud (1990, 1998), la primera descripción que hace Vergnaud (1990) de un campo conceptual es la de "conjunto de situaciones". Pero a continuación aclara que junto a las situaciones se deben considerar también los conceptos y teoremas que se ponen en juego en la solución de tales situaciones. "En efecto, si la primera entrada de un campo conceptual es la de las situaciones, se puede también identificar una segunda entrada, la de los conceptos y los teoremas." (p. 147). El campo conceptual de las estructuras aditiva es a la vez el conjunto de las situaciones cuyo tratamiento implica una o varias adiciones o sustracciones, y el conjunto de conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones como tareas matemáticas.
Este tipo de trabajos proporcionaron una herramienta útil para y eficaz para estudiar el comportamiento cognitivo de los estudiantes
Una didáctica sin escuela
Como resultado del trabajo de Feudenthal (1981), que se planteaba preguntas, de las que denominó problemas mayores en el campo de la matemática: ¿cómo piensan las personas? ¿cómo podemos aprenden a observar procesos de aprendizaje? Dio apertura a un nuevo paradigma en el que conocer los procesos cognitivos de los alumnos eran importantes para el diseño de planes y programas matematicos.
De la línea de investigación en educación matemática conocida como "pensamiento matemático avanzado", Tall y Vinner (1981) introdujeron los constructos "imagen conceptual" (concept image) y "definición conceptual" (concept definition), para describir el estado de los conocimientos del sujeto individual en relación a un concepto matemático.
Se trata de entidades mentales que se introducen para distinguir los conceptos matemáticos formalmente definidos y los procesos cognitivos por medio de los cuales se conciben. Se considera que durante los procesos mentales de recuerdo y manipulación de un concepto se ponen en juego muchos procesos asociados, de manera consciente o inconsciente, que afectan a su significado y uso. Con la expresión "imagen conceptual se describe la estructura cognitiva total asociada a un concepto, que incluye las imágenes mentales y las propiedades y procesos asociados". Se construye a lo largo de los años por medio de las experiencias de todo tipo y cambia a medida que el individuo encuentra nuevos estímulos y a medida que madura.
Se reconoce que la imagen conceptual de un sujeto sobre un concepto no tiene por qué ser coherente todo el tiempo a medida que se desarrolla ni estar de acuerdo plenamente con el concepto formal matemático. En una situación particular en la que se pone en juego un concepto matemático el sujeto activa solo una porción de su imagen conceptual: es la imagen conceptual evocada. En momentos diferentes, o incluso simultáneamente, distintas imágenes conceptuales parciales pueden no ser coherentes y entrar en conflicto.
Tall y Vinner se esfuerzan por describir la "imagen conceptual" como una entidad mental, pero no elaboran una descripción aceptable del concepto matemático (formal) entendido como objeto institucional o cultural. De los conceptos se tienen en cuenta casi exclusivamente su definición: "una configuración de palabras usadas para especificar el concepto". Se considera que mediante la definición el concepto queda "encapsulado" como una entidad unitaria.
Esta definición puede ser aprendida por un individuo de manera memorística o de un modo más significativo y relacionada en mayor o menor grado con el concepto como un todo. En un momento dado el sujeto puede expresar con sus propias palabras la definición de un concepto, lo que es interpretado como la encapsulación lingüística de su imagen conceptual. Esta definición personal del concepto puede diferir de la definición conceptual formal, esto es, la definición del concepto aceptada por la comunidad matemática en su conjunto.
Estas herramientas teóricas son usadas por Tall y Vinner para analizar las imágenes conceptuales y las definiciones conceptuales de estudiantes de último curso de secundaria sobre los conceptos de límite de sucesiones, límite de una función en un punto y la continuidad de funciones.
El estudio se centra en la identificación de factores conflictivos potenciales entre distintos componentes de las imágenes y definiciones conceptuales, contrastadas con las definiciones formales de los conceptos matemáticos.
Un aspecto que se subraya en el trabajo de los autores es que un individuo no está compuesto simplemente de procesos cognitivos
Una didáctica en la escuela pero sin escenarios
Otra forma de abordar la problemática en la matemática educativa fueron las aproximaciones sistémicas que se caracterizan por intentar analizar los fenómenos educativos en su complejidad, tanto del punto de vista del que aprende como del que enseña en un determinado medio.
Un ejemplo de ello es el trabajo sobre la convergencia de series infinitas (Farfán, 1997) en el que haciendo uso de aproximaciones didácticas novedosas se buscó significar entre profesores universitarios el concepto de convergencia de series infinitas con el estudio científico del calor. a fin de no limitarse a las cuestiones del aprendizaje de los procesos puramente mentales, consideraron hacer un estudio del tratamiento del cálculo algebraico en la época que le dio origen enfatizando los procedimientos heurísticos comúnmente utilizados. se buscaba localizar el surgimiento institucional de la ingeniería matemática sobre la práctica tradicional y desentrañar el papel sustantivo que esa institución de educación superior la École Polytechniqueste. Este estudio proporcionó información didáctica pertinente dado que la conjunción de diversas variables rebasaba las cuestiones meramente mentales y abría un campo nuevo, la formación del conocimiento desde una perspectiva social. Una vez determinada la citada fenomenología intrínseca del concepto de convergencia se diseñaban apropiados montajes experimentales a fin de estudiar los procesos implementados por grupos de profesores del nivel universitario cuando tenían que involucrar problemas físicos similares a aquellos abordados por Fourier durante el siglo XIX, y por otro lado los planteados en un contexto propiamente matemático.
De los resultados los autores señalan que si bien un determinado concepto surge en un ámbito determinado, esto no resulta propicio para recrearse en el aula pues resulta mucho más complejo que aquel que se trató de introducir. Esto les llevó a incorporar aspectos sociales en las investigaciones didácticas. Poner mayor atención en la construcción social del conocimiento, aunque esto les significara perder el ámbito propiamente escolar. no mirar los conceptos y sus diferentes estructuraciones conceptuales en forma aislada, sino tratar con las prácticas que conducen o favorecen la necesidad de tales conceptos. del concepto a las prácticas es el nuevo reto.
A partir de ello surge una nueva propuesta que se propone tomar todos estos aspectos.
Una didáctica en escenarios socioculturales
Son variadas las líneas de investigación que dentro de esta perspectiva están desarrollándose: el pensamiento y el lenguaje variacional; estudios sobre curriculo; sobre la instrucción, entendida como las actividades que acompañan al aprendizaje; sobre los recursos, específicamente aquellos que refuerzan el proceso de enseñanza; sobre la vida del conocimiento de la escuela; influencias que ejerce el sistema escolar sobre en los aprendizajes; sobre las matemáticas que se aprenden dentro y fuera de la escuela; sobre el sistema escolar para saber el rumbo y sentido de de las decisiones políticas o sociales que modifican el funcionamiento del sistema educativo.
Se tienen, como se señala, trabajos de investigación que pretenden dotarla de un carácter sistémico que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales de la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza, denominando a esta aproximación múltiple acercamiento socioepistemológico.
Los hallazgos obtenidos hasta el momento favorecen la discusión y elaboración de propuestas de enseñanza que traten sobre el que enseñar y no solo, como ha sido habitual, sobre el que enseñar.
Este modelo propuesto está en proceso de desarrollo, su gran virtud es que permite la construcción de un paradigma desde una visión latinoamericana, donde la elaboración de constructos teóricos apoyados por la investigación, en los dos sentidos, apoyándose mutuamente tanto para la elaboración de investigación como para la elaboración de teoría, es fundamental.
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